Trójkąt Sierpińskiego

Jest fraktalnie

Dywan Sierpińskiego

O tym fraktalu mówi się, że jest klasyczny, jego nazwa pochodzi od nazwiska polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego (1882-1969). Trójkąt Sierpińskiego tworzy się niezwykle łatwo, gdyż jest jednym z prostszych fraktali. Podstawą geometryczną jego konstrukcji jest wypełniony trójkąt na płaszczyźnie (ważne, aby był wypełniony - tutaj kolorem czarnym)...







Dokonując wielokrotnego usuwania części trójkąta, wybiera się środek każdego z boków. Wybrane punkty razem z wierzchołkami trójkąta początkowego wyznaczą cztery mniejsze trójkąty, z których należy usunąć trójkąt położony w środku.

Krok ten jest podstawą tworzenia trójkąta Sierpińskiego. Po przejściu tego etapu pojawiają się trzy przystające trójkąty. Każdy z boków trójkątów, które powstały, jest równy połowie początkowej długości boku i łączy się z pozostałymi trójkątami dwoma wierzchołkami.



W otrzymanych trójkątach, należy powtórzyć powyższą operację. Po tej operacji otrzymuje się 9 trójkątów.




W wyniku powtarzania iteracji otrzymuje się 3, 9, 27, 81, 243, … trójkąty. Każdy z nich jest dokładną wersją trójkątów z poprzednich kroków. Poniżej pokazano trójkąt Sierpińskiego po piątym kroku konstrukcji. Posiada on już 243 trójkąty




Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem punktów płaszczyzny, które powstały w wyniku wykonania nieskończonej liczby kroków konstrukcji. Trzeba nadmienić również, że boki trójkątów powstałych podczas jego tworzenia są punktami, które do niego należą.

Samopodobieństwo jest wbudowane w proces konstrukcji, każda z trzech części w k-tym kroku jest dwukrotnie pomniejszoną wersją całej figury z poprzedniego kroku. Jego podstawowymi własnościami są:


- zbiór domknięty;

- zbiór nigdzie gęsty;

- pole trójkąta Sierpińskiego jest równe 0.



Całość tego artykułu dostępna jest na stronie www.fraktale.stach.org.pl


Dzielenie trójkąta za pomocą koła ;-)